競馬の数学（２）

競馬に関わる数学的な要素について考えた結果を、備忘録の代わりに書き残して行くシリーズです。（一覧はこちら）
２回目の今回は単勝率とその他の的中率の関係を整理します。

※ 数学的な意味で、厳密には不適切な表記があるかもしれない点はご容赦下さい。一方で、内容に関して本質的な間違いがありましたら、ご指摘を頂けますと大変助かります。

２－１．単勝率と馬単の的中率の関係

【設問】

Ａ，Ｂの２頭の馬の単勝率がそれぞれ$Ｐ(Ａ)，Ｐ(Ｂ)$とする。このとき、このレースがＡ→Ｂの馬単で決着する確率$Ｐ(Ａ\toＢ)$を求めよ。但し同着は発生しないものとする。

【回答】

$Ｐ (Ａ \to Ｂ) ＝Ｐ (Ａ) \times \frac{Ｐ (Ｂ)}{１－Ｐ (Ａ)}$

【証明】

まずＡが優勝する確率は$Ｐ(Ａ)$である。つぎにＡが優勝したとき、Ａを除いた馬の中でＢが１着になる確率は次の式で求めることが出来る。($Ｐ(Ａ)$と$Ｐ(Ｂ)$は同時に発生しない点に留意する。)

$\frac{Ｐ (Ｂ)}{１－Ｐ (Ａ)}$

従って、Ａ→Ｂの馬単で決着する確率$Ｐ(Ａ\toＢ)$は次式で求めることが出来る。

$Ｐ (Ａ \to Ｂ) ＝Ｐ (Ａ) \times \frac{Ｐ (Ｂ)}{１－Ｐ (Ａ)}$

２－２．単勝率と馬連の的中率の関係

【設問】

Ａ，Ｂの２頭の馬の単勝率がそれぞれ$Ｐ(Ａ)，Ｐ(Ｂ)$とする。このとき、このレースがＡ－Ｂの馬連で決着する確率$Ｐ(Ａ－Ｂ)$を求めよ。但し同着は発生しないものとする。

【回答】

$Ｐ (Ａ－Ｂ) ＝Ｐ (Ａ) \times Ｐ (Ｂ) \times ｛ \frac{１}{１－Ｐ (Ａ)} ＋ \frac{１}{１－Ｐ (Ｂ)} ｝$

【証明】

このレースがＡ→Ｂの馬単で決着する確率を$Ｐ(Ａ\toＢ)$、Ｂ→Ａの馬単で決着する確率$Ｐ(Ｂ→Ａ)$とすれば、Ａ－Ｂの馬連で決着する確率$Ｐ(Ａ－Ｂ)$は$Ｐ(Ａ\toＢ)$と$Ｐ(Ｂ\toＡ)$の何れかが発生する確率なので、

$Ｐ (Ａ－Ｂ) ＝Ｐ (Ａ \to Ｂ) ＋Ｐ (Ｂ \to Ａ)$

である。ここで２－１に示す公式から２つの馬単の的中率を求めると、

$\begin{array}{rcl} Ｐ (A －Ｂ) & ＝ & Ｐ (Ａ) \times \frac{Ｐ (Ｂ)}{１－Ｐ (Ａ)} ＋Ｐ (Ａ) \times \frac{Ｐ (Ｂ)}{１－Ｐ (Ｂ)} \\ ＝ & Ｐ (Ａ) \times Ｐ (Ｂ) \times ｛ \frac{１}{１－Ｐ (Ａ)} ＋ \frac{１}{１－Ｐ (Ｂ)} ｝ \end{array}$

となる。

２－３．単勝率と連対率の関係

【設問】

馬Ａの単勝率が$Ｐ(Ａ)$のとき、馬Ａの連対率$Ｑ(Ａ)$を求めよ。

【回答】

不定

【証明】

まず、Ａが２着となる確率を$Ｐ(Ａ２)$とすれば、Ａの連対率$Ｑ(Ａ)$は

$Ｑ (Ａ) ＝Ｐ (Ａ) ＋Ｐ (Ａ２)$

で求めることが出来る。

つぎに、単勝率$Ｐ(Ａ)$から$Ｐ(Ａ２)$を求めることを考える。
今、出走頭数がｎ頭で、Ａ以外の馬の単勝率を$Ｐ(ｉ)\scriptsize{ i=1～(n-1)}$とする。このとき、ｉ番目の馬が１着で、Ａが２着となる確率$Ｐ(ｉ\toＡ)$は２－１に示す公式から

$Ｐ (ｉ \to Ａ) ＝Ｐ (ｉ) \times \frac{Ｐ (Ａ)}{１－Ｐ (ｉ)}$

ここで１－１で示した証明から、Ａが２着になる確率はＡ以外の馬からＡへの馬単の的中率の総和となるので、

$\begin{array}{rcl} Ｐ (Ａ２) & ＝ & \sum_{i = 1}^{n - 1} Ｐ (ｉ \to Ａ) \\ ＝ & \sum_{i = 1}^{n - 1} ｛Ｐ (ｉ) \times \frac{Ｐ (Ａ)}{１－Ｐ (ｉ)} ｝ \\ ＝ & Ｐ (Ａ) \times \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{Ｐ (ｉ)}{１－Ｐ (ｉ)} \dots ① \end{array}$