競馬に関わる数学的な要素について考えた結果を、備忘録の代わりに書き残して行くシリーズの４回目です。（一覧はこちら）
今回は、オッズの算出方法についておさらいします。
※ 数学的な意味で、厳密には不適切な表記があるかもしれない点はご容赦下さい。一方で、内容に関して本質的な間違いがありましたら、ご指摘を頂けますと大変助かります。
４－１．単勝オッズの算出
【設問】
馬Ａに対する単勝の投票率が$Ｒａ$であるとき、馬Ａの単勝オッズ$Ｏａ$を求めよ。このとき、ＪＲＡの払戻率を$δ$とし、同着は発生しないものとする。なお、ＪＲＡの払戻金算出の規定はここに記載の通りとし、ＪＲＡプラス１０は考慮しない。
【回答】
$$\frac{δ}{Ｒａ}$$
【証明】
まずレース全体の総投票金額を$Ｎｕ$とし、馬Ａへの投票金額を$Ｎａ$とする。このとき、
$$Ｒａ＝\frac{Ｎａ}{Ｎｕ} … ①$$
である。
つぎに、ＪＲＡの規定により、払戻金の総額は次式で定められる。
$$（Ｗ＋\frac{Ｄ}{ｎ}）\cdotδ … ②$$
ここでＷは的中馬券への投票金額、$Ｄ$はハズレ馬券への投票金額、$ｎ$は勝ち馬の数なので、
\begin{eqnarray}Ｗ&＝&Ｎａ\\Ｄ&＝&Ｎｕ－Ｎａ\\ｎ&＝&１\end{eqnarray}
を代入すると、
$$（Ｎａ－（Ｎｕ－Ｎａ））\cdotδ$$
となる。よって、この時のオッズ$Ｏａ$は払戻金の総額を馬Ａへの投票金額で除したものになるので、
\begin{eqnarray}Ｏａ&＝&\frac{（Ｎａ－（Ｎｕ－Ｎａ））\cdotδ}{Ｎａ}\\&＝&δ\cdot\frac{Ｎｕ}{Ｎａ} … ③\end{eqnarray}
これに①を適用すると
$$Ｏａ＝\frac{δ}{Ｒａ}$$
となる。
【補足】
本例は的中馬券が一通りの券種であれば成り立つので、単勝以外も馬連、馬単、３連複、３連単でも同様に成立する。
４－２．同着時の単勝オッズの算出
【設問】
馬Ａと馬Ｂに対する単勝の投票率が、それぞれＲａ、Ｒｂであるときに、馬Ａと馬Ｂが同着１位になったときの単勝オッズＯａとＯｂを求めよ。なお、ＪＲＡの払戻金算出の規定はここに記載の通りとし、ＪＲＡプラス１０は考慮しない。
【回答】
\begin{eqnarray}
Ｏａ&＝&\frac{δ}{２Ｒａ}＋δ\cdot\frac{Ｒａ－Ｒｂ}{２Ｒａ}\\
Ｏｂ&＝&\frac{δ}{２Ｒｂ}＋δ\cdot\frac{Ｒｂ－Ｒａ}{２Ｒｂ}
\end{eqnarray}
【証明】
本例は４－１で勝ち馬の頭数を２頭にしたケースである。
まずレース全体の総投票金額をＮｕとし、馬Ａと馬Ｂへの投票金額をそれぞれ$Ｎａ$、$Ｎｂ$とする。このとき、
\begin{eqnarray}
Ｒａ&＝&\frac{Ｎａ}{Ｎｕ} … ①\\
Ｒｂ&＝&\frac{Ｎｂ}{Ｎｕ} … ②
\end{eqnarray}
である。
つぎに、ＪＲＡの規定により、配当金の総額は次式で定められるので、
$$（Ｗ＋\frac{Ｄ}{ｎ}）\cdotδ$$
馬Ａに対する払戻金の総額は、
\begin{eqnarray}
Ｗ&＝&Ｎａ\\Ｄ&＝&Ｎｕ－Ｎａ－Ｎｂ\\ｎ&＝&２
\end{eqnarray}
より次式で与えられる。
$$（Ｎａ＋\frac{Ｎｕ－Ｎａ－Ｎｂ}{２}）\cdotδ$$
従って、馬ＡのオッズＯａはこの総額を馬Ａへの投票金額Ｎａで除したものになるので、
\begin{eqnarray}
Ｏａ&＝&（Ｎａ＋\frac{Ｎｕ－Ｎａ－Ｎｂ}{２}）\cdot\frac{δ}{Ｎａ}\\
&＝&\frac{Ｎｕ＋Ｎａ－Ｎｂ}{２}\cdot\frac{δ}{Ｎａ}\\
&＝&δ\cdot\frac{Ｎｕ}{２Ｎａ}＋δ\cdot\frac{Ｎａ－Ｎｂ}{２Ｎａ}
\end{eqnarray}
ここで①，②の関係を用いて上式を整理すると。
$$Ｏａ＝\frac{δ}{２Ｒａ}＋δ\cdot\frac{Ｒａ－Ｒｂ}{２Ｒａ}$$
同様に、馬ＢのオッズＯｂは、
$$Ｏｂ＝\frac{δ}{２Ｒｂ}＋δ\cdot\frac{Ｒｂ－Ｒａ}{２Ｒｂ}$$
となる。
【補足】
４－１と４－２の結果を比べると、４－２は単純に４－１の結果の$\frac{１}{２}$とはならない点に注意する。$Ｒａ＝Ｒｂ$の場合に限り、$\frac{１}{２}$となる。
４－３．複勝オッズの算出
【設問】
馬Ａと馬Ｂと馬Ｃに対する複勝の投票率が、それぞれ$Ｒａ$、$Ｒｂ$、$Ｒｃ$であるときに、馬Ａ・馬Ｂ・馬Ｃの３頭が１～３着を占めた場合の、複勝オッズ$Ｏａ$，$Ｏｂ$，$Ｏｃ$を求めよ。なお、ＪＲＡの払戻金算出の規定はここに記載の通りとし、ＪＲＡプラス１０は考慮しない。
【回答】
\begin{eqnarray}
Ｏａ&＝&\frac{δ}{３Ｒａ}＋δ\cdot\frac{２Ｒａ－Ｒｂ－Ｒｃ}{３Ｒａ}\\
Ｏｂ&＝&\frac{δ}{３Ｒｂ}＋δ\cdot\frac{２Ｒｂ－Ｒｃ－Ｒａ}{３Ｒｂ}\\
Ｏｃ&＝&\frac{δ}{３Ｒｃ}＋δ\cdot\frac{２Ｒｃ－Ｒａ－Ｒｂ}{３Ｒｃ}
\end{eqnarray}
【証明】
本例の回答は４－２の例を３頭同着に拡張したケースと考えることが出来る。
まずレース全体の複勝の総投票金額を$Ｎｕ$とし、馬Ａと馬Ｂと馬Ｃの複勝への投票金額をそれぞれ$Ｎａ$，$Ｎｂ$，$Ｎｃ$とする。このとき、
\begin{eqnarray}
Ｒａ&＝&\frac{Ｎａ}{Ｎｕ} … ①\\
Ｒｂ&＝&\frac{Ｎｂ}{Ｎｕ} … ②\\
Ｒｃ&＝&\frac{Ｎｃ}{Ｎｕ} … ③
\end{eqnarray}
である。
つぎに、ＪＲＡの規定により、配当金の総額は次式で定められるので、
$$（Ｗ＋\frac{Ｄ}{ｎ}）\cdotδ$$
馬Ａに対する払戻金の総額は、
\begin{eqnarray}
Ｗ&＝&Ｎａ\\
Ｄ&＝&Ｎｕ－Ｎａ－Ｎｂ－Ｎｃ\\
ｎ&＝&３\\
\end{eqnarray}
より次式で与えられる。
$$（Ｎａ＋\frac{Ｎｕ－Ｎａ－Ｎｂ－Ｎｃ}{３}）\cdotδ$$
従って、馬ＡのオッズＯａはこの総額を馬Ａへの投票金額Ｎａで除したものになるので、
\begin{eqnarray}
Ｏａ&＝&（Ｎａ＋\frac{Ｎｕ－Ｎａ－Ｎｂ－Ｎｃ}{３}）\cdot\frac{δ}{Ｎａ}\\
&＝&（\frac{Ｎｕ＋２Ｎａ－Ｎｂ－Ｎｃ}{３}）\cdot\frac{δ}{Ｎａ}\\
&＝&δ\cdot\frac{Ｎｕ}{３Ｎａ}＋δ\cdot\frac{２Ｎａ－Ｎｂ－Ｎｃ}{３Ｎａ}
\end{eqnarray}
ここで①，②，③の関係を用いて上式を整理すると。
$$Ｏａ＝\frac{δ}{３Ｒａ}＋δ・\frac{２Ｒａ－Ｒｂ－Ｒｃ}{３Ｒａ}$$
同様にしてＯｂとＯｃを求めると、
\begin{eqnarray}
Ｏｂ&＝&\frac{δ}{３Ｒｂ}＋δ・\frac{２Ｒｂ－Ｒｃ－Ｒａ}{３Ｒｂ}\\
Ｏｃ&＝&\frac{δ}{３Ｒｃ}＋δ・\frac{２Ｒｃ－Ｒａ－Ｒｂ}{３Ｒｃ}\\
\end{eqnarray}
となる。